LA CHRONIQUE DU DOCTEUR CARBUR     III

“ Une histoire complètement neu-nœud ”

Vous qui faites de superbes entrelacs sur vos nouilles tous les Dimanches, vous pensez tout savoir sur les nœuds. Oh bien sûr, vous maîtrisez à la perfection le nœud de 8 et celui de 9, le nœud de vire, les oreilles de “ Mickey ”, le nœud de chaise simple et double ainsi que le nœud amortisseur et le “ 8 tricoté ”, ajoutez-y le nœud de “ pêcheur double ” et vous serez parés pour aller équiper le grand aven du Mont Marcou. Oui mais voilà, savoir faire quelques nœuds cache toute l’étendue de notre ignorance sur ces compagnons de toutes les sorties. Voyons un peu leurs secrets.

1.	Origine et nœuds familiers.

L’origine des nœuds se perd, non pas dans la nuit des temps, mais dans la profondeur de la mémoire collective et dans l’absence, hélas irrémédiable, de vestiges archéologiques anciens. Au néolithique le tissage, qui nécessite croisements et nouages de fils, est déjà bien maîtrisé mais il n’en reste que peu de chose. Plus avant dans le passé il n’y a plus trace des techniques qui permettaient de lier par exemple, une lame de silex à son manche que ce soit avec des boyaux, des nerfs animaux ou des fibres végétales : et pourtant elles tenaient ! La décomposition de toutes ces ligatures organiques ne permettra sans doute jamais de connaître avec précision l’âge  des premiers nœuds. Quoi qu’il en soit, le nœud a plusieurs centaines de milliers d’années.

A l’époque contemporaine, les marins se sont emparés de cette technique pour l’adapter à la nécessité de la marine à voile. C’est ainsi que plusieurs milliers de nœuds ont pu être décrits par Clifford W. Ashley : quoi de plus normal quand on sait qu’au XIXeme siècle certains navires avaient à leur bord près de 50 kilomètres de cordages !
Présents sur les décors entrelacés des stèle funéraires Celtes ou les enluminures des bibles du Moyen Age, les nœuds furent aussi développés comme jeu par les Esquimaux et les Indiens d’Amérique, puis continuant leur petit bonhomme de chemin dans l’industrie textile, il s’appliquèrent dans des domaines aussi divers que la magie, l’alpinisme ou la chirurgie. Enfin, leur étude mathématique permet actuellement de faire le lien (c’est le cas de le dire) avec la physique, la chimie et même la biologie moléculaire. Quel beau parcours !
2.	Nœud réel et nœud mathématique.

Fig. 1

DEVIENT

Vous connaissez tous des tas de nœuds concrets. On pourrait définir un nœud comme un croisement, au minimum double, d’un lien souple quelconque. Quelques conventions classiques permettent de les dessiner de façon compréhensible, du moins c’est que l’on essaye de faire dans les exposés techniques sur les nœuds de spéléo. Avec un peu d’entraînement les moins doués d’entre nous arrivent tant bien que mal à les reproduire. Alors un nœud mathématique c’est comment ? Facile : vous prenez un nœud normal, vous imaginez que vous soudez les deux extrémités libres et vous obtenez un nœud mathématique (figure 1). En fait un nœud mathématique est une boucle nouée alors qu’un lien non noué devient une boucle simple appelée “ nœud trivial ” (figures 2). 

Fig. 2

Alors quel est l’intérêt qu’un matheux peut bien trouver à une boucle ? Tout est justement dans la présence ou l’absence de nœud : en clair “ ce nœud est-il noué ou pas ? ”. Cela vous paraît peut être idiot, mais si vous êtes pêcheur vous allez comprendre : n’avez-vous jamais fait par étourderie une superbe  “ perruque ” avec le fil du moulinet ? Dans cet amas de fil il ne peut pas y avoir de nœud totalement indénouable puisque l’autre bout du crin pend encore au bout de votre canne à lancer avec l’appât ou la cuillère. Et pourtant combien de fois avez-vous été obligé de couper le fil parce qu’essayer de démêler l’écheveau vous semblait relever au minimum de la crise de nerfs... En fait, il devait s’agir d’un “ nœud trivial ” : d’une boucle bien entrelacée mais pas nouée pour autant (figure 3). Autre exemple : essayez de reproduire le nœud de la figure 4 (suivez bien le schéma), puis tirez sur ses extrémités ; déduisez vous-même la conclusion qui s’impose.

Fig 3.		CE NE SONT PAS DES NŒUDS	Fig 4.

Une autre des particularités des nœuds c’est d’être des objets qui, vus sous des angles différents, peuvent se ressembler alors qu’ils ne sont pas identiques. Au contraire un même nœud peut avoir des aspects bien différents suivant la position dans laquelle on le regarde. Certains nœuds peuvent en se desserrant un peu et en repositionnant les brins (sans les dénouer) prendre une nouvelle forme : s’agit-il du même nœud ou d’un nœud différent ? Et ce n’est pas tout, prenez un nœud de 8 et placez-vous devant un miroir : le nœud que vous apercevez est-il identique et se nouerait-il de la même façon que l’original ? Voilà une partie des questions qui monopolisent des dizaines de cerveaux de part le monde depuis près d’un siècle dans les labos et les facultés et qui pourraient se résumer à ceci : “ comment être certain que deux nœuds sont différents ? ”.

3.	Description et classement mathématique des nœuds.

	Pour répondre aux questions qui précèdent, il fallait pouvoir décrire les nœuds, et ensuite trouver certaines caractéristiques essentielles des nœuds permettant de faire la différence entre eux et donc de les classer sans risque de confusion. Ces caractéristiques, qui doivent rester inchangées au cours de la déformation du nœud s’appellent les invariants du nœud.
3.1.	Par l’arithmétique.
	
Qui dit arithmétique, dit nombres et calculs. Passer d’un nœud sur un bout de nouille à une opération, même aussi simple que l’addition ne paraît pas évident et pourtant c’est ce qui a été fait. Il suffit par exemple d’associer chaque nœud au nombre minimum de croisements visibles et voilà qu’on peut se mettre à trier puis à calculer avec les nœuds. Pour les additionner par exemple c’est très simple, vous prenez un ficelle et vous faites un nœud de huit puis vous y ajoutez un nœud plat, vous les rapprochez, les serrez bien et vous obtenez le nœud qui est la somme des deux précédents. On pourra également les soustraire, les multiplier et même les diviser. Des mathématiciens ont ainsi découvert de nœuds premiers qui comme les nombres du même nom  ne peuvent être divisés que par eux-mêmes ou par l’unité (qui est le nœud trivial ou boucle en  cf 2.) !
3.2.	Par l’algèbre
	
	Quand on pense à l’algèbre, on imagine des formules remplies de x et de y (voire de z) plus ou moins ésotériques suivant les capacités mathématiques de chacun. Il fallait en passer par là pour être certain de pouvoir faire la différence entre deux nœuds ou savoir s’ils sont identiques car la simple description ne suffit plus dès que le nœud se complique. Leur travail consistait, bien souvent en partant de la forme d’un nœud (donc de la géométrie) à trouver une formule (voir 3.3) qui “ fonctionnerait ” pour tous les nœuds mais, bien qu’un nœud soit quelque chose de très concret, la tâche fut assez difficile puisque des tas de chercheurs s’y sont cassé le nez.
3.3.	Les invariants d’un nœud

	Voilà donc le nom donné à ces “ formules mathématiques ” (ou polynômes) censés décrire les nœuds sans équivoque possible. Des Américains et des Russes ont eu moins de succès pour trouver la formule magique qu’ils en  avaient eu dans la conquête de l’espace. 
Expliquons-nous : si la formule donnait deux résultats différents, alors les deux nœuds qui en découlent étaient différents, si la formule donnait deux résultats identiques alors les nœuds étaient les mêmes. Tout semble aller pour le mieux mais là où ça coince, c’est qu’en général il y a toujours deux nœuds, de toute évidence différents, dont les résultats calculés sont identiques. En gros, des tas d’invariants ne fonctionnent à la perfection que dans un seul sens ! 
Récemment Victor Vassiliev, un mathématicien russe, à trouvé une nouvelle formule qui est peut-être celle recherchée depuis si longtemps, l’ennui c’est qu’elle est tellement “ simple ” que ses confrères ne sont pas sûr  qu’elle soit complète tout en ne pouvant d’ailleurs pas démontrer le contraire. Ah ces matheux ! ! !
4.	Prolongements de l’étude des nœuds.

	“ - C’est bien beau tout ça, mais ça sert à quoi ? ”demanderait à juste titre notre ami Carbur . Effectivement, on est en droit de se poser la question de l’utilité pratique de toutes ces contorsions intellectuelles. Ce serait bien qu’en partant d’un nœud sur une corde spéléo et après être passé par les mathématiques, on revienne à quelque chose de pratique. Vous le croirez ou non, mais, même si avec ça on n’a pas inventé le beurre à couper le fil, il n’est pas dit que ce sera totalement inutile.
4.1.	En physique.

	Plusieurs phénomènes physiques observables peuvent s’expliquer clairement (ou s’expliquent mieux) grâce à l’apport de la théorie des nœuds par exemple : le mouvement de sphères microscopiques de plastique plongées dans un liquide conducteur et placé dans un champ magnétique tournant. Bon évidemment ce n’est pas encore avec ça que l’on va faire cuire le steak, mais c’est déjà quelque chose de concret. Une autre application concerne, en astrophysique, l’étude des lignes de force du champ magnétique du soleil et dire que nous, avec des nœuds, on va se mettre à l’ombre !
	
4.2.	En biologie et chimie.

	C’est certainement dans ce domaine que les applications de la théorie des nœuds s’approchent le plus de notre réalité. Deux exemples :

•	Les chimistes créent en laboratoire des molécules nouées dont les propriétés particulières leur permettent de modifier leur forme ou même de se déplacer en fonction de facteurs électriques, chimiques ou lumineux décidés par celui qui dirige l’expérience. Ces nouvelles molécules ressemblent parfois à celles qui, dans la nature, furent à l’origine de la vie ; d’autres permettent d’imaginer des mémoires d’ordinateurs moléculaires et non plus électroniques.
•	Enfin, dans l’étude du vivant, c’est en biologie moléculaire et plus précisément dans l’étude de la réplication de l’ADN cellulaire qu’on retrouve des sacs de nœuds. L’ADN est en effet plus ou moins enroulé sur lui-même et au cours de sa réplication se forment des nœuds qui sont limités et contrôlés par des protéines appelées “ topoisomérases ”. Mieux connaître ces protéines et leurs petits jeux avec l’ADN, ouvre des perspectives vers la lutte contre les maladies génétiques, les virus et bactéries ou le cancer.

5.	Bibliographie.

W. ASHLEY		Le Grand livre des Nœuds.				Gallimard	1979
M. GARDNER		Le paradoxe du pendu.					Dunod
P. 	CARTIER		Développements récents sur les groupes de tresses, applications à la topologie et à
         	l’algèbre. 	Séminaire Bourbaki, exposé 716			1989
	P. DEHORNOY	Laboratoire de mathématiques de l’université de Caen.
				Internet : http:/www.math.unicaen.fr/
	I. STEWART		Le polynôme de Jones. In “ Pour la science ” n°146 page 94		1989
C. MERCAT		Théorie des nœuds et enluminures Celtes. In “ l’Ouvert ”, n° 84 	1996
Collectif		La science des nœuds. Dossier Hors Série “ Pour la science ” 		1997

		Doc Carbur.